Tema 7: Teoría de la probabilidad.

Tema 7 (II).

Reglas básicas: teoría de la probabilidad.

• Las probabilidades de un evento o suceso siempre oscilan entre 0 y 1.
• La probabilidad de que un evento o suceso sea segura es = a1.
• La probabilidad de un suceso o evento imposible es=0
• La unión de A y B es:
• P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B)
• La probabilidad de un suceso contrario o del complemento es igual a 1 menos la probabilidad del suceso.
• P (A´)= 1-P(A)
• La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define.

Teorema de Bayes.

Es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso.

En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Distribución de probabilidad en variables discretos: Binomial y Poison

Distribución binomial.

Es un modelo matemático de distribución teórica de variables discretas.

• Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades.
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
• La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de A` es 1-p y la representamos por q.
• El experimento consta de un número "n" de pruebas.

Mediante esta distribución se resuelve los problemas que plantean:

Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso.

• P: probabilidad de ocurrencia, "q" de no ocurrencia.
• X: número sucesos favorables.
• N: número total de ensayos.

Distribución de Poisson.

Se dice que la variable aleatoria discreta, cuyos valores posibles son: 0, 1, 2...etc. Tienen distribución de Poisson con parámetro λ y se escribe X. P(λ). En la siguiente formula hay un errata, donde e elevado a λ es negativo (-λ).

Utilidad :

• La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatorio. En otros palabras no se sabe el total de posibles resultados.
• Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.
• Es muy útil cuando la muestra o segmento "n" es grande y la probabilidad de éxitos "p" es pequeña.
• Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento "n" dado como por ejemplo distancia, área, volumen, etc. 

Donde:

• P(X=x): es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito x.
• λ: promedio de ocurrencias es un intervalo (tiempo, volumen, área, etc.).
• e: tiene un valor aproximado de 2,71828183...
• x: es el número de ocurrencias.

Distribución normal.

Tipificación de valores en una normal.

Extrapolando aparecen los principios básicos de la distribución normales y podemos tipificar valores de una normal.

• ± 1S → 68,26% de las observaciones.
• ± 2S → 95,45% de las observaciones.
• ±1,95S →95% de las observaciones.
• ±3S → 99,73% de las observaciones.
• ±2,58 → 99% de las observaciones.

Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss.

La tipificación de los valores se puede realizar sí:

• Trabajamos con unas variables continuas que:
• Sigue una distribución normal (TLC).
• Y tiene más de 100 unidades (LGN).
• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia.

Sabemos por la forma de la curva que, la media coincide con lo más alto de la campana (8) y la desviación típica es de 2 puntos.

• El 50% tienen puntuaciones >8.
• El 50% tienen puntuaciones <8.
• Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10.
• Media ±  1 desviación típica: 68%.
• 8+ / -1: 6-10.
• Media ±  2 desviación típica: 95%.
• 4-12.
• Media ± 3 desviación típica: 99%.
• 2-14.